En el comentario pasado dije que hablar de los Bayesianos había sido el post mas difícil de escribir debido a diversas causas, especialmente a la complejidad y poca difusión de la Inferencia Bayesiana, pues déjenme decirles que la Orden de la EstaDIOStica de la que hoy vamos a tratar hace que los Bayesianos sean un juego de niños, no porque sea más compleja en sí misma, sino que en general su uso está muy fuera de nuestra esfera diaria y nunca la he visto usada en la industria. De hecho me vi muy tentado a no hablar de ella, pero tengo que hacerlo por una simple razón. La EstaDIOStica del Calculo Estocástico es la EstaDIOStica del DINERO.
Así es, el Cálculo Estocástico es la estadística que utilizan los Economistas (Matemáticas financieras) para jugar a mover el dinero en la Bolsa de valores, y no estamos hablando solo de precio de acciones, estamos hablando de Derivados, Futuros, Exóticos, Metales, Corrales (Hedges) etc. Y se utiliza para calcular y pronosticar el valor futuro de una acción y ponderar los riesgos inherentes y de esta forma calcular los retornos d dinero esperado con el fin de maximizar ganancias disminuyendo los riesgos de pérdida.
Pero como dijo Jack el destripador, vámonos por partes.
El santo patrono de esta Orden es Kiyoshi Itō.
Kiyoshi Ito, nace el 7 de septiembre de 1915 y fallece el 10 de noviembre del 2008, fue un matemático japonés cuyo trabajo se llama ahora el cálculo de Ito. El concepto básico de este cálculo es el integral de Ito, y el más básico de los resultados importantes es el lema de Ito. Facilita la comprensión matemática de sucesos aleatorios. Su teoría se aplica ampliamente, principalmente, en matemáticas financieras.
Para más información de Ito ver http://en.wikipedia.org/wiki/Kiyoshi_It%C5%8D
Voy a tratar de explicar con un ejemplo simple la Integral de Ito y veremos cuáles podrían ser algunas de las aplicaciones en la Industria.
La integral de Ito tiene la peculiaridad que propone que el resultado una parte es Determinística, o sea que puede explicarse mediante ecuaciones del sistema dinamico y una parte se explica por un ruido aleatorio. Imaginen un proceso en el cual nosotros sabemos la ecuación.
Y= f(x)
Lo que dice La integral de Ito es que la solución final debe ser algo más parecido a lo que sigue:
Y=f(x) + Ruido
Y de esta forma la Integral de Ito tiene dos partes y las llamaremos la parte Determinística a la parte donde están la función de x y la parte Estocástica (O probabilística) será la ecuación que cuantifique el ruido.
La integral de Ito podemos expresarse de la siguiente forma (No se me asusten, al rato la explicamos con naranjas).
[Ito-2] dP = m(t,P)dt+ s(t,P) df(t)
la primera parte de la ecuación m(t,P)dt es la como comentamos la parte Determinística y s(t,P) df(t) la parte Estocástica y específicamente a df(t) se le conoce como MOVIMIENTO BROWNIANO.
Imaginemos que compramos una acción de cierta compañía en el año 0 y nos costo $1.00 y creemos que nuestra acción va a subir de precio y que el precio va a subir digamos 1% anual, y entonces esperaríamos que el valor de nuestra acción en el tiempo se comportara de la siguiente forma:
Año 0: $1.00
Año 1: $1.01
Año 2: $1.0201
Año 3: $1.030301
Año 4: $1.040604
Año 5: $1.05101
Y como una grafica vale más que mil palabras
Como podemos ver el precio de nuestra acción tiene un crecimiento exponencial determinado.
LA parte Determinística de la Integral de Ito se soluciona muy fácilmente, como todos recordaran de la materia de Cálculo de kínder 1.
dM/dt=kM y Mo=M(0) M(t)=M(0)exp(kt)
(Cuando fue la última vez que solucionaste una integral, derivada etc., esta de pensarse ingenieros)
Como ven calculando la parte Determinística nos pronostica el valor de nuestro acción dentro de algunos años, desgraciadamente nos damos cuenta que el valor que tiene nuestro acción es ligeramente diferente del que calculamos, digamos hace 10 años que es la fecha cuando lo compramos; entonces donde estuvo el fallo; pues que no hay fallo, lo que tenemos que hacer es ver la segunda parte de la Integral de Ito y encontraremos que hubo un poco de ruido y por eso el valor no coincide exactamente con el que nosotros habíamos calculado originalmente.
Nos dimos cuenta que hay algo de ruido en el sistema de la siguiente forma:
En las grafica con fondo amarillo vemos que el interés fue del 1.2%, la línea roja es el cálculo Determinístico y en verde tenemos que generamos un ruido mediante una computadora.
En la grafica con fondo celeste tenemos la misma curva Determinística y el ruido al ser aleatorio es ligeramente diferente, nomas que este es el de indicador real.
La grafica amarilla fue generada usando la Integral de Ito y la Grafica Azul es de hecho como se ha comportado S&P en los últimos 15 años.
Esta vez mi intención es presentar una forma de Estadistica que no utilizamos pero que podría tener utilidad práctica en nuestras actividades industriales. Personalmente creo que la Integral de Ito es una Genialidad; hemos platicado que un proceso tiene una componente Determinística y asumimos que dicho proceso también tiene una componente de ruido. En una regresión normal, lo que estamos tratando de obtener, por increíble que parezca, es la parte DETERMINÍSTICA y obviamos y esperamos que el ruido estocástico sea despreciable y de esta forma lo ignoramos, veamos algunos Pros y Contras y donde podríamos usarlo.
Pros:
Podríamos utilizar el Cálculo Estocástico en procesos donde una lectura depende en parte de la lectura anterior (Proceso Markoviano), por ejemplo en un tanque de formación donde el estado del electrolito depende el estado en el que estaba en el lote anterior (Porque este se desgasta) o calcular el desempeño de alguna proceso debido a degradación o desgaste; sistemas de moldeo; o sistemas productivos donde las variables de proceso cambien debido a crecimientos o reducciones; las tuberías se van llenado de incrustaciones y los flujos disminuyen; las torres de enfriamiento disminuyen su eficiencia debido al crecimiento de algas.
Este tipo de calculo obliga al ingeniero a tener un conocimiento profundo de su proceso ya que tiene que modelarlo y no trabajar con él como si fuera una caja negra y solo correlacionando entradas con salidas (DOE, Regresiones)
Contras:
Los contras son obvios, no hay ingenieros que sepan este tipo de estadística y no hay tampoco quien entrene ingenieros en este tipo de estadística. Y muy probablemente si alguno la estudiara y la aprendiera, este se dedicaría a trabajar en el negocio del dinero directamente donde seguramente ganaría mas y no en la industria maquiladora.
Conclusión:
El uso de Calculo Estocástico cambiaría radicalmente la forma de pensar de nuestros ingenieros de proceso, de hecho trabajarían realmente como ingenieros de proceso ya que requerirían aprender y modelar realmente su proceso y no como ahora que se la pasan usando Minitab y no tienen ni la más remota idea de que es lo que pasa en el piso, pero eso si saben hacer unas graficas preciosas.
Este comentario puede tener errores ya que debo ser honesto mi conocimiento acerca del Calculo Estocástico es muy poco, durante el último mes me dedique a estudiar el concepto y quede encantado con las posibilidades que se abren, así que decidí que este año le dedicare parte de mi tiempo de ocio a aprender esta área de las Matemáticas financieras.
Algunos links
http://www.matematicas.unam.mx/lars/pub/ede.pdf
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